إدخال مسألة...
الجبر الخطي الأمثلة
[1-10-12-10-11]⎡⎢⎣1−10−12−10−11⎤⎥⎦
خطوة 1
خطوة 1.1
عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة p(λ)p(λ).
p(λ)=محدِّد(A-λI3)p(λ)=محدِّد(A−λI3)
خطوة 1.2
المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم 33 هي المصفوفة المربعة 3×33×3 التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.
[100010001]⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦
خطوة 1.3
عوّض بالقيم المعروفة في p(λ)=محدِّد(A-λI3)p(λ)=محدِّد(A−λI3).
خطوة 1.3.1
عوّض بقيمة AA التي تساوي [1-10-12-10-11]⎡⎢⎣1−10−12−10−11⎤⎥⎦.
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]-λI3)p(λ)=محدِّد⎛⎜⎝⎡⎢⎣1−10−12−10−11⎤⎥⎦−λI3⎞⎟⎠
خطوة 1.3.2
عوّض بقيمة I3I3 التي تساوي [100010001]⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦.
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]-λ[100010001])p(λ)=محدِّد⎛⎜⎝⎡⎢⎣1−10−12−10−11⎤⎥⎦−λ⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]-λ[100010001])p(λ)=محدِّد⎛⎜⎝⎡⎢⎣1−10−12−10−11⎤⎥⎦−λ⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦⎞⎟⎠
خطوة 1.4
بسّط.
خطوة 1.4.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.4.1.1
اضرب -λ−λ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=محدِّد⎛⎜⎝⎡⎢⎣1−10−12−10−11⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
خطوة 1.4.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 1.4.1.2.1
اضرب -1−1 في 1.
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.2
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.2.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.2.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.3
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.3.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.3.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.4
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.4.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.4.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.5
اضرب -1 في 1.
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.6
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.6.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.6.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.7
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.7.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.7.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.8
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.8.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ000-λ000λ-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.8.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.9
اضرب -1 في 1.
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=محدِّد([1-10-12-10-11]+[-λ000-λ000-λ])
خطوة 1.4.2
اجمع العناصر المتناظرة.
p(λ)=محدِّد[1-λ-1+00+0-1+02-λ-1+00+0-1+01-λ]
خطوة 1.4.3
Simplify each element.
خطوة 1.4.3.1
أضف -1 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ-10+0-1+02-λ-1+00+0-1+01-λ]
خطوة 1.4.3.2
أضف 0 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ-10-1+02-λ-1+00+0-1+01-λ]
خطوة 1.4.3.3
أضف -1 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ-10-12-λ-1+00+0-1+01-λ]
خطوة 1.4.3.4
أضف -1 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ-10-12-λ-10+0-1+01-λ]
خطوة 1.4.3.5
أضف 0 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ-10-12-λ-10-1+01-λ]
خطوة 1.4.3.6
أضف -1 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ-10-12-λ-10-11-λ]
p(λ)=محدِّد[1-λ-10-12-λ-10-11-λ]
p(λ)=محدِّد[1-λ-10-12-λ-10-11-λ]
خطوة 1.5
Find the determinant.
خطوة 1.5.1
Choose the row or column with the most 0 elements. If there are no 0 elements choose any row or column. Multiply every element in row 1 by its cofactor and add.
خطوة 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
|+-+-+-+-+|
خطوة 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a - position on the sign chart.
خطوة 1.5.1.3
The minor for a11 is the determinant with row 1 and column 1 deleted.
|2-λ-1-11-λ|
خطوة 1.5.1.4
Multiply element a11 by its cofactor.
(1-λ)|2-λ-1-11-λ|
خطوة 1.5.1.5
The minor for a12 is the determinant with row 1 and column 2 deleted.
|-1-101-λ|
خطوة 1.5.1.6
Multiply element a12 by its cofactor.
1|-1-101-λ|
خطوة 1.5.1.7
The minor for a13 is the determinant with row 1 and column 3 deleted.
|-12-λ0-1|
خطوة 1.5.1.8
Multiply element a13 by its cofactor.
0|-12-λ0-1|
خطوة 1.5.1.9
Add the terms together.
p(λ)=(1-λ)|2-λ-1-11-λ|+1|-1-101-λ|+0|-12-λ0-1|
p(λ)=(1-λ)|2-λ-1-11-λ|+1|-1-101-λ|+0|-12-λ0-1|
خطوة 1.5.2
اضرب 0 في |-12-λ0-1|.
p(λ)=(1-λ)|2-λ-1-11-λ|+1|-1-101-λ|+0
خطوة 1.5.3
احسِب قيمة |2-λ-1-11-λ|.
خطوة 1.5.3.1
يمكن إيجاد محدد المصفوفة 2×2 باستخدام القاعدة |abcd|=ad-cb.
p(λ)=(1-λ)((2-λ)(1-λ)---1)+1|-1-101-λ|+0
خطوة 1.5.3.2
بسّط المحدد.
خطوة 1.5.3.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.3.2.1.1
وسّع (2-λ)(1-λ) باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".
خطوة 1.5.3.2.1.1.1
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=(1-λ)(2(1-λ)-λ(1-λ)---1)+1|-1-101-λ|+0
خطوة 1.5.3.2.1.1.2
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=(1-λ)(2⋅1+2(-λ)-λ(1-λ)---1)+1|-1-101-λ|+0
خطوة 1.5.3.2.1.1.3
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=(1-λ)(2⋅1+2(-λ)-λ⋅1-λ(-λ)---1)+1|-1-101-λ|+0
p(λ)=(1-λ)(2⋅1+2(-λ)-λ⋅1-λ(-λ)---1)+1|-1-101-λ|+0
خطوة 1.5.3.2.1.2
بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.
خطوة 1.5.3.2.1.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.3.2.1.2.1.1
اضرب 2 في 1.
p(λ)=(1-λ)(2+2(-λ)-λ⋅1-λ(-λ)---1)+1|-1-101-λ|+0
خطوة 1.5.3.2.1.2.1.2
اضرب -1 في 2.
p(λ)=(1-λ)(2-2λ-λ⋅1-λ(-λ)---1)+1|-1-101-λ|+0
خطوة 1.5.3.2.1.2.1.3
اضرب -1 في 1.
p(λ)=(1-λ)(2-2λ-λ-λ(-λ)---1)+1|-1-101-λ|+0
خطوة 1.5.3.2.1.2.1.4
أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.
p(λ)=(1-λ)(2-2λ-λ-1⋅-1λ⋅λ---1)+1|-1-101-λ|+0
خطوة 1.5.3.2.1.2.1.5
اضرب λ في λ بجمع الأُسس.
خطوة 1.5.3.2.1.2.1.5.1
انقُل λ.
p(λ)=(1-λ)(2-2λ-λ-1⋅-1(λ⋅λ)---1)+1|-1-101-λ|+0
خطوة 1.5.3.2.1.2.1.5.2
اضرب λ في λ.
p(λ)=(1-λ)(2-2λ-λ-1⋅-1λ2---1)+1|-1-101-λ|+0
p(λ)=(1-λ)(2-2λ-λ-1⋅-1λ2---1)+1|-1-101-λ|+0
خطوة 1.5.3.2.1.2.1.6
اضرب -1 في -1.
p(λ)=(1-λ)(2-2λ-λ+1λ2---1)+1|-1-101-λ|+0
خطوة 1.5.3.2.1.2.1.7
اضرب λ2 في 1.
p(λ)=(1-λ)(2-2λ-λ+λ2---1)+1|-1-101-λ|+0
p(λ)=(1-λ)(2-2λ-λ+λ2---1)+1|-1-101-λ|+0
خطوة 1.5.3.2.1.2.2
اطرح λ من -2λ.
p(λ)=(1-λ)(2-3λ+λ2---1)+1|-1-101-λ|+0
p(λ)=(1-λ)(2-3λ+λ2---1)+1|-1-101-λ|+0
خطوة 1.5.3.2.1.3
اضرب ---1.
خطوة 1.5.3.2.1.3.1
اضرب -1 في -1.
p(λ)=(1-λ)(2-3λ+λ2-1⋅1)+1|-1-101-λ|+0
خطوة 1.5.3.2.1.3.2
اضرب -1 في 1.
p(λ)=(1-λ)(2-3λ+λ2-1)+1|-1-101-λ|+0
p(λ)=(1-λ)(2-3λ+λ2-1)+1|-1-101-λ|+0
p(λ)=(1-λ)(2-3λ+λ2-1)+1|-1-101-λ|+0
خطوة 1.5.3.2.2
اطرح 1 من 2.
p(λ)=(1-λ)(-3λ+λ2+1)+1|-1-101-λ|+0
خطوة 1.5.3.2.3
أعِد ترتيب -3λ وλ2.
p(λ)=(1-λ)(λ2-3λ+1)+1|-1-101-λ|+0
p(λ)=(1-λ)(λ2-3λ+1)+1|-1-101-λ|+0
p(λ)=(1-λ)(λ2-3λ+1)+1|-1-101-λ|+0
خطوة 1.5.4
احسِب قيمة |-1-101-λ|.
خطوة 1.5.4.1
يمكن إيجاد محدد المصفوفة 2×2 باستخدام القاعدة |abcd|=ad-cb.
p(λ)=(1-λ)(λ2-3λ+1)+1(-(1-λ)+0⋅-1)+0
خطوة 1.5.4.2
بسّط المحدد.
خطوة 1.5.4.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.4.2.1.1
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=(1-λ)(λ2-3λ+1)+1(-1⋅1--λ+0⋅-1)+0
خطوة 1.5.4.2.1.2
اضرب -1 في 1.
p(λ)=(1-λ)(λ2-3λ+1)+1(-1--λ+0⋅-1)+0
خطوة 1.5.4.2.1.3
اضرب --λ.
خطوة 1.5.4.2.1.3.1
اضرب -1 في -1.
p(λ)=(1-λ)(λ2-3λ+1)+1(-1+1λ+0⋅-1)+0
خطوة 1.5.4.2.1.3.2
اضرب λ في 1.
p(λ)=(1-λ)(λ2-3λ+1)+1(-1+λ+0⋅-1)+0
p(λ)=(1-λ)(λ2-3λ+1)+1(-1+λ+0⋅-1)+0
خطوة 1.5.4.2.1.4
اضرب 0 في -1.
p(λ)=(1-λ)(λ2-3λ+1)+1(-1+λ+0)+0
p(λ)=(1-λ)(λ2-3λ+1)+1(-1+λ+0)+0
خطوة 1.5.4.2.2
أضف -1+λ و0.
p(λ)=(1-λ)(λ2-3λ+1)+1(-1+λ)+0
خطوة 1.5.4.2.3
أعِد ترتيب -1 وλ.
p(λ)=(1-λ)(λ2-3λ+1)+1(λ-1)+0
p(λ)=(1-λ)(λ2-3λ+1)+1(λ-1)+0
p(λ)=(1-λ)(λ2-3λ+1)+1(λ-1)+0
خطوة 1.5.5
بسّط المحدد.
خطوة 1.5.5.1
أضف (1-λ)(λ2-3λ+1)+1(λ-1) و0.
p(λ)=(1-λ)(λ2-3λ+1)+1(λ-1)
خطوة 1.5.5.2
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.5.2.1
وسّع (1-λ)(λ2-3λ+1) بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.
p(λ)=1λ2+1(-3λ)+1⋅1-λ⋅λ2-λ(-3λ)-λ⋅1+1(λ-1)
خطوة 1.5.5.2.2
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.5.2.2.1
اضرب λ2 في 1.
p(λ)=λ2+1(-3λ)+1⋅1-λ⋅λ2-λ(-3λ)-λ⋅1+1(λ-1)
خطوة 1.5.5.2.2.2
اضرب -3λ في 1.
p(λ)=λ2-3λ+1⋅1-λ⋅λ2-λ(-3λ)-λ⋅1+1(λ-1)
خطوة 1.5.5.2.2.3
اضرب 1 في 1.
p(λ)=λ2-3λ+1-λ⋅λ2-λ(-3λ)-λ⋅1+1(λ-1)
خطوة 1.5.5.2.2.4
اضرب λ في λ2 بجمع الأُسس.
خطوة 1.5.5.2.2.4.1
انقُل λ2.
p(λ)=λ2-3λ+1-(λ2λ)-λ(-3λ)-λ⋅1+1(λ-1)
خطوة 1.5.5.2.2.4.2
اضرب λ2 في λ.
خطوة 1.5.5.2.2.4.2.1
ارفع λ إلى القوة 1.
p(λ)=λ2-3λ+1-(λ2λ1)-λ(-3λ)-λ⋅1+1(λ-1)
خطوة 1.5.5.2.2.4.2.2
استخدِم قاعدة القوة aman=am+n لتجميع الأُسس.
p(λ)=λ2-3λ+1-λ2+1-λ(-3λ)-λ⋅1+1(λ-1)
p(λ)=λ2-3λ+1-λ2+1-λ(-3λ)-λ⋅1+1(λ-1)
خطوة 1.5.5.2.2.4.3
أضف 2 و1.
p(λ)=λ2-3λ+1-λ3-λ(-3λ)-λ⋅1+1(λ-1)
p(λ)=λ2-3λ+1-λ3-λ(-3λ)-λ⋅1+1(λ-1)
خطوة 1.5.5.2.2.5
أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.
p(λ)=λ2-3λ+1-λ3-1⋅-3λ⋅λ-λ⋅1+1(λ-1)
خطوة 1.5.5.2.2.6
اضرب λ في λ بجمع الأُسس.
خطوة 1.5.5.2.2.6.1
انقُل λ.
p(λ)=λ2-3λ+1-λ3-1⋅-3(λ⋅λ)-λ⋅1+1(λ-1)
خطوة 1.5.5.2.2.6.2
اضرب λ في λ.
p(λ)=λ2-3λ+1-λ3-1⋅-3λ2-λ⋅1+1(λ-1)
p(λ)=λ2-3λ+1-λ3-1⋅-3λ2-λ⋅1+1(λ-1)
خطوة 1.5.5.2.2.7
اضرب -1 في -3.
p(λ)=λ2-3λ+1-λ3+3λ2-λ⋅1+1(λ-1)
خطوة 1.5.5.2.2.8
اضرب -1 في 1.
p(λ)=λ2-3λ+1-λ3+3λ2-λ+1(λ-1)
p(λ)=λ2-3λ+1-λ3+3λ2-λ+1(λ-1)
خطوة 1.5.5.2.3
أضف λ2 و3λ2.
p(λ)=4λ2-3λ+1-λ3-λ+1(λ-1)
خطوة 1.5.5.2.4
اطرح λ من -3λ.
p(λ)=4λ2-4λ+1-λ3+1(λ-1)
خطوة 1.5.5.2.5
اضرب λ-1 في 1.
p(λ)=4λ2-4λ+1-λ3+λ-1
p(λ)=4λ2-4λ+1-λ3+λ-1
خطوة 1.5.5.3
جمّع الحدود المتعاكسة في 4λ2-4λ+1-λ3+λ-1.
خطوة 1.5.5.3.1
اطرح 1 من 1.
p(λ)=4λ2-4λ-λ3+λ+0
خطوة 1.5.5.3.2
أضف 4λ2-4λ-λ3+λ و0.
p(λ)=4λ2-4λ-λ3+λ
p(λ)=4λ2-4λ-λ3+λ
خطوة 1.5.5.4
أضف -4λ وλ.
p(λ)=4λ2-λ3-3λ
خطوة 1.5.5.5
أعِد ترتيب 4λ2 و-λ3.
p(λ)=-λ3+4λ2-3λ
p(λ)=-λ3+4λ2-3λ
p(λ)=-λ3+4λ2-3λ
خطوة 1.6
عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ 0 لإيجاد القيم الذاتية λ.
-λ3+4λ2-3λ=0
خطوة 1.7
أوجِد قيمة λ.
خطوة 1.7.1
حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.
خطوة 1.7.1.1
أخرِج العامل -λ من -λ3+4λ2-3λ.
خطوة 1.7.1.1.1
أخرِج العامل -λ من -λ3.
-λ⋅λ2+4λ2-3λ=0
خطوة 1.7.1.1.2
أخرِج العامل -λ من 4λ2.
-λ⋅λ2-λ(-4λ)-3λ=0
خطوة 1.7.1.1.3
أخرِج العامل -λ من -3λ.
-λ⋅λ2-λ(-4λ)-λ⋅3=0
خطوة 1.7.1.1.4
أخرِج العامل -λ من -λ(λ2)-λ(-4λ).
-λ(λ2-4λ)-λ⋅3=0
خطوة 1.7.1.1.5
أخرِج العامل -λ من -λ(λ2-4λ)-λ(3).
-λ(λ2-4λ+3)=0
-λ(λ2-4λ+3)=0
خطوة 1.7.1.2
حلّل إلى عوامل.
خطوة 1.7.1.2.1
حلّل λ2-4λ+3 إلى عوامل باستخدام طريقة AC.
خطوة 1.7.1.2.1.1
ضع في اعتبارك الصيغة x2+bx+c. ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما c ومجموعهما b. في هذه الحالة، حاصل ضربهما 3 ومجموعهما -4.
-3,-1
خطوة 1.7.1.2.1.2
اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.
-λ((λ-3)(λ-1))=0
-λ((λ-3)(λ-1))=0
خطوة 1.7.1.2.2
احذِف الأقواس غير الضرورية.
-λ(λ-3)(λ-1)=0
-λ(λ-3)(λ-1)=0
-λ(λ-3)(λ-1)=0
خطوة 1.7.2
إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي 0، فالعبارة بأكملها تساوي 0.
λ=0
λ-3=0
λ-1=0
خطوة 1.7.3
عيّن قيمة λ بحيث تصبح مساوية لـ 0.
λ=0
خطوة 1.7.4
عيّن قيمة العبارة λ-3 بحيث تصبح مساوية لـ 0 وأوجِد قيمة λ.
خطوة 1.7.4.1
عيّن قيمة λ-3 بحيث تصبح مساوية لـ 0.
λ-3=0
خطوة 1.7.4.2
أضف 3 إلى كلا المتعادلين.
λ=3
λ=3
خطوة 1.7.5
عيّن قيمة العبارة λ-1 بحيث تصبح مساوية لـ 0 وأوجِد قيمة λ.
خطوة 1.7.5.1
عيّن قيمة λ-1 بحيث تصبح مساوية لـ 0.
λ-1=0
خطوة 1.7.5.2
أضف 1 إلى كلا المتعادلين.
λ=1
λ=1
خطوة 1.7.6
الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة -λ(λ-3)(λ-1)=0 صحيحة.
λ=0,3,1
λ=0,3,1
λ=0,3,1
خطوة 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where N is the null space and I is the identity matrix.
εA=N(A-λI3)
خطوة 3
خطوة 3.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([1-10-12-10-11]+0[100010001])
خطوة 3.2
بسّط.
خطوة 3.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 3.2.1.1
اضرب 0 في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
[1-10-12-10-11]+[0⋅10⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
خطوة 3.2.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 3.2.1.2.1
اضرب 0 في 1.
[1-10-12-10-11]+[00⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
خطوة 3.2.1.2.2
اضرب 0 في 0.
[1-10-12-10-11]+[000⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
خطوة 3.2.1.2.3
اضرب 0 في 0.
[1-10-12-10-11]+[0000⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
خطوة 3.2.1.2.4
اضرب 0 في 0.
[1-10-12-10-11]+[00000⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
خطوة 3.2.1.2.5
اضرب 0 في 1.
[1-10-12-10-11]+[000000⋅00⋅00⋅00⋅1]
خطوة 3.2.1.2.6
اضرب 0 في 0.
[1-10-12-10-11]+[0000000⋅00⋅00⋅1]
خطوة 3.2.1.2.7
اضرب 0 في 0.
[1-10-12-10-11]+[00000000⋅00⋅1]
خطوة 3.2.1.2.8
اضرب 0 في 0.
[1-10-12-10-11]+[000000000⋅1]
خطوة 3.2.1.2.9
اضرب 0 في 1.
[1-10-12-10-11]+[000000000]
[1-10-12-10-11]+[000000000]
[1-10-12-10-11]+[000000000]
خطوة 3.2.2
Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.
خطوة 3.2.2.1
اجمع العناصر المتناظرة.
[1+0-1+00+0-1+02+0-1+00+0-1+01+0]
خطوة 3.2.2.2
Simplify each element.
خطوة 3.2.2.2.1
أضف 1 و0.
[1-1+00+0-1+02+0-1+00+0-1+01+0]
خطوة 3.2.2.2.2
أضف -1 و0.
[1-10+0-1+02+0-1+00+0-1+01+0]
خطوة 3.2.2.2.3
أضف 0 و0.
[1-10-1+02+0-1+00+0-1+01+0]
خطوة 3.2.2.2.4
أضف -1 و0.
[1-10-12+0-1+00+0-1+01+0]
خطوة 3.2.2.2.5
أضف 2 و0.
[1-10-12-1+00+0-1+01+0]
خطوة 3.2.2.2.6
أضف -1 و0.
[1-10-12-10+0-1+01+0]
خطوة 3.2.2.2.7
أضف 0 و0.
[1-10-12-10-1+01+0]
خطوة 3.2.2.2.8
أضف -1 و0.
[1-10-12-10-11+0]
خطوة 3.2.2.2.9
أضف 1 و0.
[1-10-12-10-11]
[1-10-12-10-11]
[1-10-12-10-11]
[1-10-12-10-11]
خطوة 3.3
Find the null space when λ=0.
خطوة 3.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[1-100-12-100-110]
خطوة 3.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 3.3.2.1
Perform the row operation R2=R2+R1 to make the entry at 2,1 a 0.
خطوة 3.3.2.1.1
Perform the row operation R2=R2+R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1-100-1+1⋅12-1-1+00+00-110]
خطوة 3.3.2.1.2
بسّط R2.
[1-10001-100-110]
[1-10001-100-110]
خطوة 3.3.2.2
Perform the row operation R3=R3+R2 to make the entry at 3,2 a 0.
خطوة 3.3.2.2.1
Perform the row operation R3=R3+R2 to make the entry at 3,2 a 0.
[1-10001-100+0-1+1⋅11-10+0]
خطوة 3.3.2.2.2
بسّط R3.
[1-10001-100000]
[1-10001-100000]
خطوة 3.3.2.3
Perform the row operation R1=R1+R2 to make the entry at 1,2 a 0.
خطوة 3.3.2.3.1
Perform the row operation R1=R1+R2 to make the entry at 1,2 a 0.
[1+0-1+1⋅10-10+001-100000]
خطوة 3.3.2.3.2
بسّط R1.
[10-1001-100000]
[10-1001-100000]
[10-1001-100000]
خطوة 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x-z=0
y-z=0
0=0
خطوة 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xyz]=[zzz]
خطوة 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xyz]=z[111]
خطوة 3.3.6
Write as a solution set.
{z[111]|z∈R}
خطوة 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[111]}
{[111]}
{[111]}
خطوة 4
خطوة 4.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([1-10-12-10-11]-3[100010001])
خطوة 4.2
بسّط.
خطوة 4.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 4.2.1.1
اضرب -3 في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
[1-10-12-10-11]+[-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
خطوة 4.2.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 4.2.1.2.1
اضرب -3 في 1.
[1-10-12-10-11]+[-3-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
خطوة 4.2.1.2.2
اضرب -3 في 0.
[1-10-12-10-11]+[-30-3⋅0-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
خطوة 4.2.1.2.3
اضرب -3 في 0.
[1-10-12-10-11]+[-300-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
خطوة 4.2.1.2.4
اضرب -3 في 0.
[1-10-12-10-11]+[-3000-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
خطوة 4.2.1.2.5
اضرب -3 في 1.
[1-10-12-10-11]+[-3000-3-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
خطوة 4.2.1.2.6
اضرب -3 في 0.
[1-10-12-10-11]+[-3000-30-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
خطوة 4.2.1.2.7
اضرب -3 في 0.
[1-10-12-10-11]+[-3000-300-3⋅0-3⋅1]
خطوة 4.2.1.2.8
اضرب -3 في 0.
[1-10-12-10-11]+[-3000-3000-3⋅1]
خطوة 4.2.1.2.9
اضرب -3 في 1.
[1-10-12-10-11]+[-3000-3000-3]
[1-10-12-10-11]+[-3000-3000-3]
[1-10-12-10-11]+[-3000-3000-3]
خطوة 4.2.2
اجمع العناصر المتناظرة.
[1-3-1+00+0-1+02-3-1+00+0-1+01-3]
خطوة 4.2.3
Simplify each element.
خطوة 4.2.3.1
اطرح 3 من 1.
[-2-1+00+0-1+02-3-1+00+0-1+01-3]
خطوة 4.2.3.2
أضف -1 و0.
[-2-10+0-1+02-3-1+00+0-1+01-3]
خطوة 4.2.3.3
أضف 0 و0.
[-2-10-1+02-3-1+00+0-1+01-3]
خطوة 4.2.3.4
أضف -1 و0.
[-2-10-12-3-1+00+0-1+01-3]
خطوة 4.2.3.5
اطرح 3 من 2.
[-2-10-1-1-1+00+0-1+01-3]
خطوة 4.2.3.6
أضف -1 و0.
[-2-10-1-1-10+0-1+01-3]
خطوة 4.2.3.7
أضف 0 و0.
[-2-10-1-1-10-1+01-3]
خطوة 4.2.3.8
أضف -1 و0.
[-2-10-1-1-10-11-3]
خطوة 4.2.3.9
اطرح 3 من 1.
[-2-10-1-1-10-1-2]
[-2-10-1-1-10-1-2]
[-2-10-1-1-10-1-2]
خطوة 4.3
Find the null space when λ=3.
خطوة 4.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[-2-100-1-1-100-1-20]
خطوة 4.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 4.3.2.1
Multiply each element of R1 by -12 to make the entry at 1,1 a 1.
خطوة 4.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by -12 to make the entry at 1,1 a 1.
[-12⋅-2-12⋅-1-12⋅0-12⋅0-1-1-100-1-20]
خطوة 4.3.2.1.2
بسّط R1.
[11200-1-1-100-1-20]
[11200-1-1-100-1-20]
خطوة 4.3.2.2
Perform the row operation R2=R2+R1 to make the entry at 2,1 a 0.
خطوة 4.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2+R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[11200-1+1⋅1-1+12-1+00+00-1-20]
خطوة 4.3.2.2.2
بسّط R2.
[112000-12-100-1-20]
[112000-12-100-1-20]
خطوة 4.3.2.3
Multiply each element of R2 by -2 to make the entry at 2,2 a 1.
خطوة 4.3.2.3.1
Multiply each element of R2 by -2 to make the entry at 2,2 a 1.
[11200-2⋅0-2(-12)-2⋅-1-2⋅00-1-20]
خطوة 4.3.2.3.2
بسّط R2.
[1120001200-1-20]
[1120001200-1-20]
خطوة 4.3.2.4
Perform the row operation R3=R3+R2 to make the entry at 3,2 a 0.
خطوة 4.3.2.4.1
Perform the row operation R3=R3+R2 to make the entry at 3,2 a 0.
[1120001200+0-1+1⋅1-2+1⋅20+0]
خطوة 4.3.2.4.2
بسّط R3.
[1120001200000]
[1120001200000]
خطوة 4.3.2.5
Perform the row operation R1=R1-12R2 to make the entry at 1,2 a 0.
خطوة 4.3.2.5.1
Perform the row operation R1=R1-12R2 to make the entry at 1,2 a 0.
[1-12⋅012-12⋅10-12⋅20-12⋅001200000]
خطوة 4.3.2.5.2
بسّط R1.
[10-1001200000]
[10-1001200000]
[10-1001200000]
خطوة 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x-z=0
y+2z=0
0=0
خطوة 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xyz]=[z-2zz]
خطوة 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xyz]=z[1-21]
خطوة 4.3.6
Write as a solution set.
{z[1-21]|z∈R}
خطوة 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[1-21]}
{[1-21]}
{[1-21]}
خطوة 5
خطوة 5.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([1-10-12-10-11]-[100010001])
خطوة 5.2
بسّط.
خطوة 5.2.1
اطرح العناصر المتناظرة.
[1-1-1-00-0-1-02-1-1-00-0-1-01-1]
خطوة 5.2.2
Simplify each element.
خطوة 5.2.2.1
اطرح 1 من 1.
[0-1-00-0-1-02-1-1-00-0-1-01-1]
خطوة 5.2.2.2
اطرح 0 من -1.
[0-10-0-1-02-1-1-00-0-1-01-1]
خطوة 5.2.2.3
اطرح 0 من 0.
[0-10-1-02-1-1-00-0-1-01-1]
خطوة 5.2.2.4
اطرح 0 من -1.
[0-10-12-1-1-00-0-1-01-1]
خطوة 5.2.2.5
اطرح 1 من 2.
[0-10-11-1-00-0-1-01-1]
خطوة 5.2.2.6
اطرح 0 من -1.
[0-10-11-10-0-1-01-1]
خطوة 5.2.2.7
اطرح 0 من 0.
[0-10-11-10-1-01-1]
خطوة 5.2.2.8
اطرح 0 من -1.
[0-10-11-10-11-1]
خطوة 5.2.2.9
اطرح 1 من 1.
[0-10-11-10-10]
[0-10-11-10-10]
[0-10-11-10-10]
خطوة 5.3
Find the null space when λ=1.
خطوة 5.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[0-100-11-100-100]
خطوة 5.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 5.3.2.1
Swap R2 with R1 to put a nonzero entry at 1,1.
[-11-100-1000-100]
خطوة 5.3.2.2
Multiply each element of R1 by -1 to make the entry at 1,1 a 1.
خطوة 5.3.2.2.1
Multiply each element of R1 by -1 to make the entry at 1,1 a 1.
[--1-1⋅1--1-00-1000-100]
خطوة 5.3.2.2.2
بسّط R1.
[1-1100-1000-100]
[1-1100-1000-100]
خطوة 5.3.2.3
Multiply each element of R2 by -1 to make the entry at 2,2 a 1.
خطوة 5.3.2.3.1
Multiply each element of R2 by -1 to make the entry at 2,2 a 1.
[1-110-0--1-0-00-100]
خطوة 5.3.2.3.2
بسّط R2.
[1-11001000-100]
[1-11001000-100]
خطوة 5.3.2.4
Perform the row operation R3=R3+R2 to make the entry at 3,2 a 0.
خطوة 5.3.2.4.1
Perform the row operation R3=R3+R2 to make the entry at 3,2 a 0.
[1-11001000+0-1+1⋅10+00+0]
خطوة 5.3.2.4.2
بسّط R3.
[1-11001000000]
[1-11001000000]
خطوة 5.3.2.5
Perform the row operation R1=R1+R2 to make the entry at 1,2 a 0.
خطوة 5.3.2.5.1
Perform the row operation R1=R1+R2 to make the entry at 1,2 a 0.
[1+0-1+1⋅11+00+001000000]
خطوة 5.3.2.5.2
بسّط R1.
[101001000000]
[101001000000]
[101001000000]
خطوة 5.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x+z=0
y=0
0=0
خطوة 5.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xyz]=[-z0z]
خطوة 5.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xyz]=z[-101]
خطوة 5.3.6
Write as a solution set.
{z[-101]|z∈R}
خطوة 5.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[-101]}
{[-101]}
{[-101]}
خطوة 6
The eigenspace of A is the list of the vector space for each eigenvalue.
{[111],[1-21],[-101]}